Transport Pembawa Muatan

Misalkan sebuah elektron bermassa $m$ bergerak di dalam semikonduktor. Pada saat $t=0$, elektron baru saja mengalami tumbukan dan memiliki kecepatan awal acak $\vec{v}_0$. Selama waktu bebas rata-rata $\tau$ sebelum tumbukan berikutnya, medan listrik $\mathcal{E}$ mempercepat elektron tersebut.

Gaya yang dialami elektron: $F = -q\mathcal{E}$. Berdasarkan Hukum II Newton, percepatannya adalah:

Sebelum tumbukan berikutnya (pada waktu $t = \tau$), perubahan kecepatan elektron akibat medan listrik adalah:

Karena kecepatan awal rata-rata akibat gerak termal adalah nol ($\langle \vec{v}_0 \rangle = 0$), maka kecepatan rata-rata keseluruhan (kecepatan drift, $v_d$) sama dengan perubahan kecepatan ini:

Di mana $\mu = \frac{q\tau}{m}$ adalah mobilitas pembawa muatan. Karena massa efektif elektron lebih kecil dari hole, mobilitas elektron ($\mu_n$) umumnya lebih besar daripada mobilitas hole ($\mu_p$).

Arus listrik ($I$) adalah jumlah muatan yang melintasi penampang per satuan waktu. Rapat arus ($J$, arus per satuan luas) yang dihasilkan oleh elektron dan hole adalah:

Substitusikan persamaan kecepatan drift ($v_{dn} = \mu_n \mathcal{E}$ dan $v_{dp} = \mu_p \mathcal{E}$):

Suku dalam kurung adalah konduktivitas material ($\sigma$):

Sehingga kita mendapatkan $J = \sigma \mathcal{E}$. Jika kita ubah ke variabel makroskopis (Arus $I = J A$, Tegangan $V = \mathcal{E} L$, dan resistansi $R = \rho L / A$), persamaan ini berubah menjadi Hukum Ohm yang familiar:

Ini membuktikan bahwa Hukum Ohm sebenarnya muncul dari perilaku mikroskopis elektron dan hole yang bergerak dalam medan listrik.

Sebuah batang silikon tipe-N didoping dengan fosforus hingga konsentrasi elektron $n = 10^{16} \text{ cm}^{-3}$. Pada suhu kamar, diketahui mobilitas elektron $\mu_n = 1350 \text{ cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$ dan mobilitas hole $\mu_p = 480 \text{ cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$. Batang tersebut memiliki panjang $L = 1 \text{ cm}$ dan dialiri tegangan $V = 10 \text{ V}$.

a) Berapa kecepatan drift elektron?

Pertama, hitung medan listrik di dalam batang:

Menggunakan Persamaan 9.1:

Bandingkan ini dengan kecepatan termal ($\approx 10^7 \text{ cm/s}$): kecepatan drift hanya sekitar 0,1% dari kecepatan termal. Ini menunjukkan bahwa medan listrik hanya memberikan "bias" yang sangat kecil terhadap gerak acak yang sangat cepat.

b) Berapa konduktivitas dan resistivitas material?

Karena material tipe-N dengan doping tinggi, konsentrasi hole jauh lebih kecil ($p \approx \frac{n_i^2}{n} \approx \frac{(1{,}5 \times 10^{10})^2}{10^{16}} \approx 2{,}25 \times 10^4 \text{ cm}^{-3}$), sehingga suku hole dapat diabaikan. Gunakan Persamaan 9.2:

Resistivitas adalah kebalikannya:

c) Berapa rapat arus ($J$) dan arus total ($I$) jika penampang batang $A = 1 \text{ mm}^2$?

Ubah luas penampang: $A = 1 \text{ mm}^2 = 10^{-2} \text{ cm}^2$. Maka:

Verifikasi dengan Hukum Ohm makroskopis: Hitung resistansi batang $R = \rho L / A = (0{,}463 \text{ }\Omega\cdot\text{cm})(1 \text{ cm}) / (10^{-2} \text{ cm}^2) = 46{,}3 \text{ }\Omega$. Maka $I = V/R = 10 / 46{,}3 \approx 0{,}216 \text{ mA}$. Hasilnya identik — membuktikan konsistensi antara pendekatan mikroskopis dan makroskopis.

Sebuah sampel semikonduktor berbentuk tabung pipih dengan tebal $t = 0{,}5 \text{ mm}$ dialiri arus $I = 5 \text{ mA}$ sepanjang sumbu panjangnya. Medan magnet $B = 0{,}2 \text{ T}$ diterapkan tegak lurus terhadap permukaan datar sampel. Sebuah voltmeter yang dihubungkan ke sisi atas dan bawah sampel membaca tegangan Hall $V_H = -12{,}5 \text{ mV}$ (sisi atas lebih negatif).

a) Tentukan jenis pembawa muatan mayoritas.

Sisi atas lebih negatif berarti muatan negatif (elektron) menumpuk di sana. Ini sesuai dengan skema Tipe-N pada Gambar 9.3. Oleh karena itu, material ini adalah semikonduktor tipe-N dengan pembawa muatan mayoritas berupa elektron.

b) Hitung konsentrasi elektron ($n$).

Dari Persamaan 9.4, kita susun ulang untuk mencari $n$:

Masukkan nilai (perhatikan konversi satuan: $t = 0{,}5 \text{ mm} = 5 \times 10^{-4} \text{ m}$, $V_H = -12{,}5 \text{ mV} = -12{,}5 \times 10^{-3} \text{ V}$, gunakan nilai mutlak):

Konsentrasi elektron sebesar $10^{15} \text{ cm}^{-3}$ mengkonfirmasi bahwa ini adalah material tipe-N dengan tingkat doping sedang.

c) Hitung mobilitas elektron ($\mu_n$) jika diketahui resistivitas material $\rho = 4{,}63 \text{ }\Omega\cdot\text{cm}$.

Dari hubungan konduktivitas (Persamaan 9.2, dengan $p \approx 0$ untuk tipe-N):

Nilai mobilitas ini khas untuk silikon tipe-N pada suhu kamar. Contoh ini menunjukkan bagaimana pengukuran Hall yang sederhana dapat mengekstrak tiga informasi fundamental sekaligus: jenis pembawa muatan (dari tanda $V_H$), konsentrasi (dari besar $V_H$), dan — bila dikombinasikan dengan pengukuran resistivitas — mobilitas pembawa muatan.

Pada suhu kamar ($T = 300 \text{ K}$), dalam sebuah struktur semikonduktor terdapat gradien konsentrasi elektron linier sepanjang sumbu-$x$. Pada posisi $x_1 = 0$, konsentrasi elektron $n_1 = 10^{18} \text{ cm}^{-3}$, dan pada posisi $x_2 = 10\,\mu\mathrm{m}$, konsentrasi elektron $n_2 = 10^{16} \text{ cm}^{-3}$. Diketahui mobilitas elektron $\mu_n = 1000 \text{ cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$.

a) Hitung koefisien difusi elektron ($D_n$) menggunakan Hubungan Einstein.

Pada suhu kamar, faktor tegangan termal adalah $k_B T / q = 0{,}026 \text{ V}$. Menggunakan Persamaan 9.6:

Nilai $D_n \approx 26 \text{ cm}^2/\text{s}$ adalah nilai khas untuk elektron di silikon pada suhu kamar. Sebagai perbandingan, untuk hole dengan $\mu_p = 400 \text{ cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$, kita akan mendapatkan $D_p \approx 10{,}4 \text{ cm}^2/\text{s}$. Perhatikan bahwa koefisien difusi elektron selalu lebih besar dari hole karena mobilitasnya lebih tinggi.

b) Hitung rapat arus difusi elektron ($J_{n(diff)}$).

Pertama, hitung gradien konsentrasi. Konversi jarak: $\Delta x = 10 \, \mu\text{m} = 10 \times 10^{-4} \text{ cm} = 10^{-3} \text{ cm}$.

Gradien bernilai negatif karena konsentrasi menurun seiring bertambahnya $x$. Sekarang gunakan Persamaan 9.5:

Tanda negatif pada $J_{n(diff)}$ menunjukkan bahwa arus difusi elektron mengalir ke arah $-x$, yaitu dari daerah konsentrasi tinggi ($x = 0$) menuju daerah konsentrasi rendah ($x = 10 \, \mu\text{m}$). Ini masuk akal secara fisik: elektron berdifusi menuruni gradien konsentasi.

c) Bandingkan dengan arus drift yang dihasilkan medan listrik yang sama besarnya.

Medan listrik yang menghasilkan rapat arus drift setara ($|J_{n(drift)}| = 4118 \text{ A/cm}^2$) dapat dihitung dari $J_{n(drift)} = n q \mu_n \mathcal{E}$. Gunakan konsentrasi rata-rata $n_{avg} \approx 5 \times 10^{17} \text{ cm}^{-3}$:

Artinya, gradien konsentrasi yang sangat curam dalam contoh ini ($10^{18} \rightarrow 10^{16}$ dalam 10 $\mu$m) menghasilkan arus difusi yang setara dengan arus drift yang dihasilkan oleh medan listrik $\approx 51{,}5 \text{ V/cm}$. Dalam junction transistor yang sangat tipis (ratusan nanometer), arus difusi bahkan dapat mendominasi total arus — inilah mengapa difusi bukan sekadar efek korektif kecil, melainkan mekanisme transport yang esensial dalam operasi perangkat semikonduktor modern.