BAB 2

Konsep Kuantum

Krisis fisika klasik pada akhir abad ke-19 yang melahirkan mekanika kuantum: dari radiasi benda hitam, foton, hingga dualitas gelombang-partikel.

2.1 Masalah Radiasi Benda Hitam

Pada akhir abad ke-19, fisika klasik menghadapi krisis besar ketika mencoba menjelaskan spektrum radiasi yang dipancarkan oleh sebuah benda hitam (black body). Benda hitam adalah objek ideal yang menyerap seluruh radiasi elektromagnetik yang jatuh padanya. Saat dipanaskan, benda hitam akan memancarkan radiasi termal dengan spektrum yang bergantung murni pada suhunya, bukan pada materialnya.

Berdasarkan fisika klasik (Hukum Rayleigh-Jeans), rapat energi radiasi $u(\nu, T)$ sebanding dengan kuadrat frekuensi:

$$ u_{klasik}(\nu, T) = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} k_B T \tag{2.1} $$

Persamaan ini cocok untuk frekuensi rendah (gelombang mikro), namun bencana terjadi pada frekuensi tinggi (cahaya tampak dan ultraviolet). Karena fungsi kuadratik, rumus klasik memprediksi bahwa rapat energi akan menuju tak hingga saat $\nu \to \infty$. Fenomena ini dikenal sebagai Ultraviolet Catastrophe, yang secara eksperimen salah karena total energi yang dipancarkan benda hitam harus berhingga.

Gambar 2.1. Kurva radiasi benda hitam. Fisika klasik (merah) berimpit dengan Hukum Planck (hijau) pada ν kecil, lalu menyimpang naik tak hingga. Hukum Planck turun kembali pada frekuensi tinggi.

2.2 Solusi Max Planck

Pada tahun 1900, Max Planck menemukan rumus matematis yang cocok dengan kurva eksperimen, namun ia harus membuat asumsi yang sangat radikal saat itu. Planck mengusulkan bahwa energi tidak dipancarkan secara kontinu, melainkan dalam paket-paket diskrit yang disebut kuantum. Energi dari osilator harmonis hanya bisa bernilai kelipatan bilangan bulat dari frekuensi $\nu$:

$$ E_n = n h \nu \quad \text{di mana } n = 0, 1, 2, 3, \dots \tag{2.2} $$

Di sini, $h$ adalah Konstanta Planck ($6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$). Dengan asumsi ini, rata-rata energi per mode osilasi bukan lagi $k_B T$ (seperti klasik), melainkan:

$$ \langle E \rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu / k_B T} - 1} \tag{2.3} $$

Derivasi Persamaan (2.3): Energi Rata-rata Planck

Planck berasumsi bahwa energi osilator terkuantisasi: $E_n = n h \nu$, dengan $n = 0, 1, 2, \dots$

Berdasarkan statistik Maxwell-Boltzmann, probabilitas osilator memiliki energi $E_n$ sebanding dengan faktor Boltzmann: $P_n \propto e^{-E_n / k_B T} = e^{-n h \nu / k_B T}$.

Rata-rata energi $\langle E \rangle$ dihitung dengan menjumlahkan semua energi yang mungkin dikalikan dengan probabilitasnya, dibagi dengan jumlah total probabilitas (Fungsi Partisi $Z$):

$$ \langle E \rangle = \frac{\sum_{n=0}^{\infty} E_n e^{-n h \nu / k_B T}}{\sum_{n=0}^{\infty} e^{-n h \nu / k_B T}} \tag{2.3a} $$

Misalkan $x = e^{-h \nu / k_B T}$. Karena $h\nu > 0$ dan $T > 0$, maka $0 < x < 1$. Persamaan penyebut menjadi deret geometri tak hingga:

$$ Z = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1 - x} \tag{2.3b} $$

Pembilang persamaan (2.3a) dapat ditulis ulang sebagai:

$$ \sum_{n=0}^{\infty} n h \nu x^n = h \nu \sum_{n=0}^{\infty} n x^n \tag{2.3c} $$

Matematika deret memberikan identitas berikut untuk $|x| < 1$:

$$ \sum_{n=0}^{\infty} n x^n = x \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \right) = x \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1-x} \right) = \frac{x}{(1-x)^2} \tag{2.3d} $$

Substitusikan hasil (2.3b) dan (2.3d) kembali ke persamaan (2.3a):

$$ \langle E \rangle = \frac{h \nu \left( \frac{x}{(1-x)^2} \right)}{\frac{1}{1-x}} = \frac{h \nu x}{1 - x} \tag{2.3e} $$

Kalikan pembilang dan penyebut dengan $1/x$ (ingat $1/x = e^{h \nu / k_B T}$):

$$ \langle E \rangle = \frac{h \nu}{\frac{1}{x} - 1} = \frac{h \nu}{e^{h \nu / k_B T} - 1} \tag{2.3} $$

Dengan mengalikan rata-rata energi ini dengan density of states (jumlah mode per satuan volume per frekuensi, lihat Apendiks 2.A di akhir bab), Planck memperoleh hukum radiasi yang sempurna:

$$ u(\nu, T) = \langle E \rangle \times g(\nu) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu / k_B T} - 1} \tag{2.4} $$

Bukti: Hukum Planck Mendekati Hukum Klasik pada Frekuensi Rendah

Pada frekuensi sangat rendah atau suhu sangat tinggi, energi kuantum $h\nu$ jauh lebih kecil dari energi termal $k_B T$ ($h\nu \ll k_B T$). Kita bisa menggunakan ekspansi Taylor (deret Maclaurin) untuk fungsi eksponensial:

$$ e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots $$

Untuk $x \ll 1$, suku orde tinggi dapat diabaikan, sehingga $e^x \approx 1 + x$. Misalkan $x = \frac{h\nu}{k_B T}$, maka:

$$ e^{h\nu / k_B T} - 1 \approx \left( 1 + \frac{h\nu}{k_B T} \right) - 1 = \frac{h\nu}{k_B T} $$

Substitusikan pendekatan ini ke penyebut Hukum Planck (2.4):

$$ u(\nu, T) \approx \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{\frac{h\nu}{k_B T}} = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} k_B T $$

Hasil ini persis sama dengan Hukum Rayleigh-Jeans (2.1). Ini membuktikan bahwa fisika kuantum tidak menghancurkan fisika klasik, melainkan mencakupnya sebagai kasus khusus pada batas tertentu (correspondence principle).

Hukum Pergeseran Wien dan Hukum Stefan-Boltzmann

Sebelum datangnya rumus Planck, para ilmuwan sudah menemukan dua hukum empiris (berdasarkan data eksperimen) tentang radiasi benda hitam. Kehebatan rumus Planck adalah mampu menjelaskan dan menurunkan kedua hukum ini secara teoretis.

1. Hukum Pergeseran Wien: Hukum ini menyatakan bahwa panjang gelombang ($\lambda_{max}$) di mana intensitas radiasi benda hitam mencapai puncaknya berbanding terbalik dengan suhu absolutnya. Semakin panas sebuah benda, radiasinya bergeser ke arah panjang gelombang yang lebih pendek (frekuensi lebih tinggi). Inilah sebabnya besi yang dipanaskan berubah dari merah menjadi kuning, lalu putih biru.

2. Hukum Stefan-Boltzmann: Hukum ini menyatakan bahwa total daya yang dipancarkan per satuan luas permukaan benda hitam sebanding dengan pangkat empat suhu absolutnya ($T^4$). Hukum ini menjelaskan mengapa benda yang sangat panas kehilangan energi termalnya dengan sangat cepat.

Derivasi Hukum Wien dan Stefan-Boltzmann

1. Derivasi Hukum Pergeseran Wien

Untuk mencari panjang gelombang puncak, kita ubah variabel Planck dari frekuensi $\nu$ menjadi panjang gelombang $\lambda$. Karena $\nu = c/\lambda$, maka $d\nu = -\frac{c}{\lambda^2} d\lambda$. Spektrum dalam domain panjang gelombang adalah:

$$ u(\lambda, T) = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{e^{h c / \lambda k_B T} - 1} $$

Misalkan $x = \frac{hc}{\lambda k_B T}$. Maka persamaan di atas menjadi $u \propto \frac{x^5}{e^x - 1}$. Titik puncak dicari dengan turunan terhadap $x$ sama dengan nol:

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{x^5}{e^x - 1} \right) = 0 \implies 5(e^x - 1) - x e^x = 0 \implies 5(1 - e^{-x}) = x $$

Persamaan transendental ini memiliki solusi numerik $x \approx 4.965$. Karena $x = \frac{hc}{\lambda_{max} k_B T}$, kita dapatkan:

$$ \lambda_{max} T = \frac{hc}{4.965 k_B} = b \approx 2.898 \times 10^{-3} \text{ m K} \tag{2.5} $$

2. Derivasi Hukum Stefan-Boltzmann

Total rapat energi (intensitas) diintegrasikan terhadap seluruh frekuensi:

$$ U = \int_0^\infty u(\nu, T) d\nu = \int_0^\infty \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu / k_B T} - 1} d\nu $$

Lakukan substitusi $x = \frac{h\nu}{k_B T}$, sehingga $\nu = \frac{x k_B T}{h}$ dan $d\nu = \frac{k_B T}{h} dx$:

$$ U = \frac{8\pi (k_B T)^4}{h^3 c^3} \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx $$

Integral ini adalah bentuk standar yang nilainya $\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^4}{15}$. Total daya yang dipancarkan per satuan luas ($j^* = \frac{c}{4}U$) menjadi:

$$ j^* = \sigma T^4 \quad \text{dengan } \sigma = \frac{2\pi^5 k_B^4}{15 c^2 h^3} \approx 5.67 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2} \text{ K}^{-4} \tag{2.6} $$

2.3 Efek Fotolistrik

Efek fotolistrik adalah fenomena pelepasan elektron dari permukaan logam ketika logam tersebut disinari oleh cahaya. Elektron yang terlepas ini disebut fotoelektron. Eksperimen menunjukkan bahwa elektron hanya terlepas jika cahaya yang digunakan memiliki frekuensi di atas nilai tertentu (frekuensi ambang $\nu_0$). Jika frekuensi cahaya lebih kecil dari $\nu_0$, tidak ada elektron yang keluar sama sekali, betapa pun tingginya intensitas cahaya tersebut.

Untuk mengukur energi elektron yang keluar, digunakan rangkaian tabung vakum. Tegangan negatif (tegangan hambat $V_0$) diterapkan pada anoda untuk menghambat elektron. Pada tegangan tertentu, arus listrik menjadi nol. Tegangan hambat $V_0$ ini berhubungan langsung dengan energi kinetik maksimum elektron:

$$ K_{max} = e V_0 \tag{2.7} $$

Fisika klasik gagal menjelaskan hasil eksperimen ini. Klasik memprediksi bahwa $K_{max}$ (dan nilai $V_0$) harus bergantung pada intensitas cahaya, karena gelombang yang lebih intens seharusnya memberikan lebih banyak energi. Namun kenyataannya, $V_0$ sama sekali tidak bergantung pada intensitas cahaya, melainkan hanya bergantung pada frekuensi cahaya.

Gambar 2.2. Setup eksperimen efek fotolistrik. Cahaya datang dari kanan. Amperemeter disusun seri, dan sumber tegangan menghubungkan anoda-katoda. Arus flat di V ≥ 0, turun ke nol di -V₀.

Pada tahun 1905, Albert Einstein menyelesaikan masalah ini dengan mengusulkan sifat partikel cahaya (foton). Einstein mengusulkan bahwa cahaya tidak hanya dipancarkan secara diskrit (seperti postulat Planck), tetapi juga diserap secara diskrit. Energi satu foton adalah $E = h\nu$.

Saat sebuah foton mengenai logam, seluruh energinya diserap oleh satu elektron. Jika energi foton melebihi energi ikat elektron di logam (disebut fungsi kerja $\Phi = h\nu_0$), elektron akan lepas. Selisih energi ini menjadi energi kinetik elektron:

$$ K_{max} = h\nu - \Phi \quad \text{atau} \quad eV_0 = h\nu - \Phi \tag{2.8} $$

Jika kita memvariasikan frekuensi cahaya ($\nu$) dan mengukur $V_0$, lalu memplot grafik $V_0$ terhadap $\nu$, kita akan mendapatkan garis lurus. Kemiringan (slope) garis ini adalah $h/e$. Intercept sumbu-x memberikan frekuensi ambang $\nu_0$, dan intercept sumbu-y memberikan $-\Phi/e$.

Gambar 2.3. Grafik tegangan hambat vs frekuensi cahaya. Kurva menaik (slope positif) memotong sumbu-y di nilai negatif (-Φ/e) dan memotong sumbu-x di nilai positif (ν₀).

2.4 Hamburan Compton (Compton Scattering)

Bukti lebih lanjut bahwa cahaya berperilaku sebagai partikel datang dari eksperimen Arthur Compton pada tahun 1923. Compton menembakkan sinar-X (foton energi tinggi) ke target elektron yang relatif stasioner. Ia mengamati bahwa sinar-X yang dihamburkan memiliki panjang gelombang yang lebih panjang, dan pergeseran panjang gelombang ini bergantung pada sudut hamburannya $\theta$.

Compton memperlakukan foton bukan hanya sebagai paket energi, tetapi juga memiliki momentum $p = h/\lambda$. Eksperimen ini merupakan tumbukan elastis 2D antara dua partikel yang mematuhi kekekalan momentum dan energi relativistik.

Gambar 2.4. Diagram vektor tumbukan Compton. Foton digambarkan sebagai gelombang sinusoidal dengan label energi dan momentum. Sudut θ diukur dari garis horizontal ke arah foton hambur.

Derivasi Pergeseran Compton

Misalkan foton datang memiliki panjang gelombang $\lambda$ (energi $E = hc/\lambda$, momentum $p = h/\lambda$). Foton hambur memiliki $\lambda'$ (energi $E' = hc/\lambda'$, momentum $p' = h/\lambda'$) pada sudut $\theta$. Elektron awalnya diam (energi istirahat $m_e c^2$), setelah tumbukan bergerak dengan momentum $\vec{p_e}$ dan energi $E_e = \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}$.

1. Kekekalan Energi:

$$ E + m_e c^2 = E' + E_e \implies E_e = (E - E') + m_e c^2 $$

Kuadratkan kedua sisi:

$$ E_e^2 = (E - E')^2 + 2m_e c^2 (E - E') + m_e^2 c^4 \tag{2.9} $$

2. Kekekalan Momentum (vektor):

$$ \vec{p} = \vec{p}' + \vec{p_e} \implies \vec{p_e} = \vec{p} - \vec{p}' $$

Kuadratkan kedua sisi ($p^2 = p \cdot p$):

$$ p_e^2 = p^2 + p'^2 - 2 p p' \cos\theta $$

Kalikan dengan $c^2$:

$$ p_e^2 c^2 = p^2 c^2 + p'^2 c^2 - 2 p p' c^2 \cos\theta = E^2 + E'^2 - 2 E E' \cos\theta \tag{2.10} $$

3. Substitusi Identitas Relativistik Elektron:

Karena $E_e^2 = p_e^2 c^2 + m_e^2 c^4$, maka $p_e^2 c^2 = E_e^2 - m_e^2 c^4$. Substitusikan (2.9) ke sini:

$$ p_e^2 c^2 = (E - E')^2 + 2m_e c^2 (E - E') $$

Samakan dengan persamaan (2.10):

$$ E^2 + E'^2 - 2 E E' \cos\theta = E^2 - 2EE' + E'^2 + 2m_e c^2 (E - E') $$

Sederhanakan suku yang sama:

$$ - 2 E E' \cos\theta = - 2EE' + 2m_e c^2 (E - E') $$

Bagi dengan $-2EE'$:

$$ \cos\theta = 1 - \frac{m_e c^2 (E - E')}{E E'} = 1 - \frac{m_e c^2}{E'} + \frac{m_e c^2}{E} $$

Karena $E = hc/\lambda$ dan $E' = hc/\lambda'$, maka $1/E = \lambda/hc$. Substitusi:

$$ \cos\theta = 1 - \frac{m_e c^2 \lambda'}{hc} + \frac{m_e c^2 \lambda}{hc} \implies 1 - \cos\theta = \frac{m_e c}{h} (\lambda' - \lambda) $$

Maka, didapatkan persamaan pergeseran Compton:

$$ \Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c} (1 - \cos\theta) \tag{2.11} $$

2.5 Postulat de Broglie & Difraksi Elektron

Pada tahun 1924, Louis de Broglie membuat postulat berani: "Jika cahaya (gelombang) bisa berperilaku seperti partikel, mungkinkah materi (partikel) seperti elektron bisa berperilaku seperti gelombang?"

de Broglie mengusulkan bahwa setiap partikel bermassa $m$ yang bergerak dengan kecepatan $v$ (momentum $p = mv$) memiliki panjang gelombang yang menyertainya:

$$ \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv} \tag{2.12} $$

Pada tahun 1927, Davisson dan Germer membuktikan postulat ini secara eksperimen. Mereka menembakkan berkas elektron ke arah kristal nikel. Elektron terdifraksi dan membentuk pola interferensi (pita-pita terang dan gelap) di layar detektor, persis seperti pola difraksi sinar-X pada kristal.

Gambar 2.5. Eksperimen Davisson-Germer. Elektron menghasilkan pola difraksi gelombang saat menumbuk kristal.

2.6 Dualitas Gelombang-Partikel

Eksperimen efek fotolistrik, hamburan Compton, dan difraksi elektron menutup keraguan akan lahirnya era baru fisika: Mekanika Kuantum.

Konsep Kunci

Dualitas Gelombang-Partikel: Cahaya dan materi tidak bisa diklasifikasikan secara mutlak sebagai "gelombang murni" atau "partikel murni". Sifat yang muncul bergantung pada bagaimana kita mengamatinya. Elektron dan foton memiliki sifat gelombang (panjang gelombang, interferensi) dan partikel (energi diskrit, momentum).

Pemahaman ini menjadi fondasi penting dalam Teknik Elektro. Tanpa konsep panjang gelombang de Broglie, kita tidak bisa menjelaskan mengapa elektron bisa terkurung (quantum confinement) di dalam transistor ukuran nanometer. Pada Bab 4, kita akan menggunakan konsep ini untuk memformulasikan Persamaan Schrödinger.

Pertanyaan Latihan Bab 2

Jelaskan apa yang dimaksud dengan Ultraviolet Catastrophe dan bagaimana asumsi Max Planck menyelesaikan masalah tersebut!
Turunkan bagaimana Hukum Stefan-Boltzmann bisa didapatkan dari rumus radiasi Planck! (Petunjuk: integralkan rapat energi $u(\nu,T)$ terhadap seluruh frekuensi $\nu$).
Dalam eksperimen efek fotolistrik, jelaskan mengapa arus jenuh ($I_{sat}$) bergantung pada intensitas cahaya, tetapi tegangan hambat ($V_0$) tidak bergantung pada intensitas!
Dalam efek fotolistrik, potensi penghentian ($V_0$) diukur untuk berbagai frekuensi cahaya. Apa informasi fisika yang bisa didapatkan dari slope dan intercept sumbu-x grafik $V_0$ terhadap $\nu$?
Sebuah foton memiliki panjang gelombang $400 \text{ nm}$ (cahaya tampak biru). Hitunglah energi dan momentum foton tersebut!
Dalam eksperimen Compton, foton datang dengan panjang gelombang $\lambda$. Jika foton hambur kembali secara sempurna (sudut $\theta = 180^\circ$), berapakah panjang gelombang barunya $\lambda'$?
Hitunglah panjang gelombang de Broglie untuk sebuah elektron yang bergerak dengan kecepatan $1 \times 10^6 \text{ m/s}$! (Massa elektron $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$). Bandingkan hasilnya dengan ukuran sebuah atom ($\sim 0.1 \text{ nm}$).
Mengapa eksperimen difraksi elektron dianggap sebagai bukti akhir yang mengunci konsep dualitas gelombang-partikel?
Berdasarkan konsep de Broglie, jika sebuah mobil bermassa $1000 \text{ kg}$ melaju dengan kecepatan $20 \text{ m/s}$, mengapa kita tidak mengamati adanya efek difraksi atau interferensi pada mobil tersebut?
Dalam perhitungan radiasi benda hitam, mengapa kita harus mengalikan rata-rata energi $\langle E \rangle$ dengan Density of States? Jelaskan makna fisisnya!

2.7 Referensi

Berikut adalah daftar pustaka yang direkomendasikan untuk memperdalam materi pada bab ini:

Griffiths, D. J. (2018). Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press.
Eisberg, R., & Resnick, R. (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (2nd ed.). Wiley.
Krane, K. S. (2019). Modern Physics (4th ed.). Wiley.

APENDIKS 2.A

Density of States (DOS)

Penjelasan dan derivasi jumlah mode gelombang per satuan volume pada ruang 1D, 2D, dan 3D.

Dalam persamaan radiasi Planck (2.4), terdapat suku $\frac{8\pi \nu^2}{c^3}$. Suku ini adalah Density of States (DOS) di ruang 3D, yang menyatakan jumlah mode gelombang elektromagnetik yang tersedia per satuan volume per satuan frekuensi. Mari kita turunkan ini mulai dari 1D hingga 3D.

1. Density of States 1D

Misalkan kita memiliki gelombang berdiri dalam box 1D sepanjang $L$. Syarat batasnya adalah panjang box harus kelipatan bulat dari setengah panjang gelombang: $L = n \frac{\lambda}{2}$, atau dalam ruang vektor gelombang $k = \frac{2\pi}{\lambda}$, maka $k = \frac{n\pi}{L}$.

Jarak antara dua mode $k$ yang berurutan adalah $\Delta k = \frac{\pi}{L}$. Jumlah total mode dari $0$ hingga $k$ adalah $N(k) = \frac{k}{\Delta k} = \frac{L k}{\pi}$. Karena $k = \frac{2\pi \nu}{c}$, maka dalam 1D, DOS per frekuensi adalah:

$$ D_{1D}(\nu) = \frac{dN}{d\nu} = \frac{L}{c} \tag{2.A.1} $$

2. Density of States 2D

Di 2D, ruang-$k$ adalah sebuah bidang. Mode-mode gelombang membentuk grid titik-titik dengan jarak $\frac{\pi}{L_x}$ dan $\frac{\pi}{L_y}$. Luas area per titik (state) adalah $\left(\frac{\pi}{L_x}\right) \left(\frac{\pi}{L_y}\right) = \frac{\pi^2}{A}$, di mana $A$ adalah luas box. Karena kita menggunakan $k > 0$ di semua kuadran, kita membatasi diri pada seperempat lingkaran (1/4 total lingkaran) dengan luas $\frac{1}{4} \pi k^2$.

Jumlah total state dalam 2D adalah $N(k) = \frac{\frac{1}{4} \pi k^2}{\pi^2 / A} = \frac{A k^2}{4 \pi}$. Substitusi $k = \frac{2\pi \nu}{c}$ dan turunkan terhadap $\nu$:

$$ D_{2D}(\nu) = \frac{dN}{d\nu} = \frac{A \pi \nu}{c^2} \tag{2.A.2} $$

3. Density of States 3D

Di 3D, ruang-$k$ adalah volume. Kita mengambil 1/8 bagian bola (karena $k_x, k_y, k_z > 0$). Volume state adalah $\frac{1}{8} \left( \frac{4}{3} \pi k^3 \right) = \frac{\pi k^3}{6}$. Volume per titik dalam grid 3D adalah $\frac{\pi^3}{V}$, di mana $V = L_x L_y L_z$.

Jumlah total state dalam 3D adalah $N(k) = \frac{\pi k^3 / 6}{\pi^3 / V} = \frac{V k^3}{6 \pi^2}$. Untuk gelombang elektromagnetik, ada 2 polarisasi (dua arah osilasi tegak lurus). Maka jumlahnya dikalikan 2:

$$ N(k) = 2 \times \frac{V k^3}{6 \pi^2} = \frac{V k^3}{3 \pi^2} \tag{2.A.3} $$

Substitusi $k = \frac{2\pi \nu}{c}$ dan turunkan terhadap $\nu$, lalu bagi dengan $V$ untuk mendapatkan rapat per satuan volume:

$$ g(\nu) = \frac{1}{V} \frac{dN}{d\nu} = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} \tag{2.A.4} $$

Inilah persisnya suku yang muncul dalam hukum radiasi Planck!

Gambar 2.A.1. Visualisasi ruang-k 3D (Oktan). Karena kx, ky, kz > 0, kita hanya mengambil 1/8 bagian bola. Volume kulit bola (shell) berketebalan dk inilah yang dihitung dalam DOS 3D.